Quanto durerà ancora?

Una volta arrivati al numero massimo di nuovi contagi giornalieri, qualcuno potrebbe illudersi che la situazione sia ormai sotto controllo e che le cose possano tornare alla normalità in un tempo relativamente breve. Oggi vorrei presentarvi una stima dei tempi necessari per spegnere l'epidemia. Userò, come al solito, un modello molto grossolano senza alcuna pretesa di fare previsioni accurate. Il mio scopo è di fornire l'ordine di grandezza dei processi in atto e ribadire come le azioni di tutti (Autorità politiche e sanitarie e singoli cittadini) possano incidere in maniera sostanziale sul nostro futuro.

Un po' di matematica per iniziare. Se non vi interessa potete saltare questo paragrafo e andare direttamente ai commenti. Supponiamo di avere oggi 100.000 casi di positività al Coronavirus. Parliamo di tutti i positivi inclusi gli asintomatici ed anche i sintomatici che non sono stati sottoposti a test. Il numero è scelto in modo arbitrario. Personalmente credo che i positivi oggi siano molti di più, ma la questione non è particolarmente rilevante ai fini della discussione che faremo. Le persone che sono attualmente positive spariranno dal nostro conto dopo un certo numero di giorni che sono espressi tramite un parametro T₀ perché saranno guarite (o ahimè defunte), ma nel frattempo potranno contagiare altre persone che erano sane. Sappiamo che tutto si gioca intorno al numero medio di nuovi contagi trasmessi da ciascun positivo. Indichiamo con R₀ questo numero. L'analisi dei dati cinesi fornisce per R₀ un valore pari a circa 2,5 nella fase iniziale dell'epidemia, quando non sono state ancora attuate specifiche misure per il contenimento del contagio. Per una persona perfettamente isolata rispetto a tutti le altre il valore scende a zero. Scriviamo il tutto secondo una semplice equazione differenziale (che lo ripeto contiene alcune grossolane approssimazioni):

dN(t)/dt = N(t) [R₀ - 1]/T₀

dove con N(t) ho indicato il numero di persone attualmente positive al giorno t. La soluzione di questa equazione è mostrata in figura, calcolata per T₀  = 10 giorni e per diversi valori di R₀ che sono tutti minori di uno, tali cioè da portare al progressivo spegnimento dell'epidemia. Le linee continue mostrano il numero di persone positive che ci avere giornalmente nell'arco di circa 4 mesi, mentre per le curve corrispondenti ai casi  R₀ = 0,75 e 0,25 (curve rossa e verde) mostriamo tramite una linea tratteggiata il numero di casi che ci aspettiamo di trovare in più rispetto quelli che avremmo avuto se fossimo riusciti  a mettere tutte le persone positive in condizione di non trasmettere il contagio ad altri, ovvero  R₀ = 0 (linea nera). Tutti i casi mostrati dalle curve tratteggiate sono casi (inclusi i decessi correlati) che potremmo ancora evitare. Inoltre, dal punto di vista dei danni socio-economici, notiamo che maggiore è il valore di R₀, maggiore sarà il tempo che dovremo attendere prima di poter dichiarare che l'epidemia sia stata debellata.

Analizzando l'andamento della linea nera, notiamo che anche nel caso limite di un perfetto blocco dei nuovi contagi, il numero delle persone attualmente contagiate non andrà a zero immediatamente. Bisogna dare loro il tempo di guarire. Tuttavia il modello prevede che una piccola frazione dei contagiati al giorno zero rimanga positiva per un tempo molto più lungo di T₀. Dai dati cinesi  sembra che questa stima sia troppo pessimista. Il risultato deriva senz'altro dal modello iper-semplificato che è stato utilizzato. L'effetto non è comunque tale da cambiare le considerazioni che sono espresse in questo post.

La figura mostrata qui sopra riporta gli stessi dati della figura precedente, ma questa volta fa uso di una scala lineare. Non si vedono più i dettagli, ma si coglie meglio l'andamento generale e la rilevanza dei casi in più (linee tratteggiate) che sono stati calcolati sulla base delle diverse ipotesi di confinamento del contagio.


Le conclusioni che possiamo trarre da questo piccolo calcolo sono molto chiare: "Non basta superare il punto di massimo dei nuovi contagi giornalieri (più precisamente, il punto in cui la curva dei contagi complessivi avrà derivata seconda uguale a zero). La partita si gioca dopo. Si potranno limitare i danni solo con una rigida ed efficace politica di restrizione della mobilità personale e di identificazione dei contagiati anche asintomatici (e dei loro contatti) tra chi è costretto ad uscire perché lavora negli ospedali e nelle altre attività essenziali.  Non ci sono alternative e la fretta potrebbe essere una pessima consigliera. Se, appena visto qualche risultato, si pensasse che tutto sia finito, il rischio è quello di portare ad un aumento repentino di R₀ che potrebbe innescare una recrudescenza dell'epidemia o, quantomeno, un significativo allungamento dei tempi che dovremo attendere per uscirne fuori.

E poi? L'esperienza cinese ci mostra che c'è sempre il pericolo di un ritorno dell'epidemia. Sappiamo che ormai è riconosciuto lo stato di pandemia a livello globale ed anche il movimento di poche decine di contagiati potrebbe reinnestare l'epidemia nei territori che ne erano usciti. Girano in rete ipotesi di un andamento stagionale, più o meno simile a quello dei comuni raffreddori. Ci preoccuperemo di questa eventualità quando sarà il momento. Oggi la priorità è uscire da questo incubo. Tutti noi possiamo contribuire a raggiungere questo risultato nel tempo più breve possibile. Pensateci prima di uscire per niente!