Un piccolo esercizio di matematica

Per i meno giovani che volessero rinfrescare le loro conoscenze matematiche e per gli studenti delle Scuole superiori alle prese con la tele-didattica ecco un piccolo esercizio ispirato dall’epidemia di Coronavirus.

Partiamo dall’ipotesi che l’epidemia si trovi nella sua  primissima fase iniziale e che quindi solo una minima parte della popolazione sia già stata contagiata. Supponiamo (come in effetti è) che non ci siano vaccini e che quindi il virus possa propagarsi senza barriere.

 

Indichiamo con N(t) la funzione che esprime il numero di contagiati in funzione del tempo t. Consideriamo un intervallo di tempo abbastanza piccolo che chiameremo dt. Il numero di nuovi contagiati dN durante questo intervallo di tempo potrà essere scritto come:

dN = N a dt                                                                       (1) 

Il significato di questa espressione è semplice: a è una costante che esprime la probabilità che il contagio si propaghi per unità di tempo. Il numero di nuovi contagiati sarà proporzionale a quante persone contagiate ci sono (è da loro che il virus si diffonde), dalla durata dell’intervallo di tempo considerato e dalla probabilità di contagio per unità di tempo a.

La probabilità a dipende da caratteristiche specifiche del virus (ad esempio, come si trasmette), dalle abitudini sociali e dalle condizioni igieniche della popolazione (si riduce quando i contagiandi curano l’igiene personale e riducono al minimo i contatti personali). In questo modello supponiamo che a sia la stessa per tutti i contagiati ed i contagianti. In realtà le cose sono molte più complesse. Ad esempio, a si riduce drasticamente se il contagiato viene prontamente identificato e messo in isolamento. Non a caso i contagi più insidiosi sono quelli portati in giro inconsapevolmente da persone che non manifestano sintomi. Inoltre a potrebbe dipendere anche delle condizioni di salute del contagiando.

Il modello va quindi considerato come una forma iper-semplificata, utile solo per capire alcuni meccanismi di base della diffusione del virus. Ricordiamo inoltre che l’equazione (1) non include la riduzione dei contagiati dovuta a guarigione o - ahimé - morte e vale solo all’inizio dell’epidemia quando la grande maggioranza della popolazione fa parte dei cosiddetti “contagiandi” ovvero non è ancora entrata in contatto col virus. Man mano che l’epidemia si espande, aumenta il numero di portatori di anticorpi che contribuiscono a formare una barriera all’ulteriore diffusione del virus.

 

Torniamo alla nostra equazione (1). La riconosciamo come una ben nota equazione differenziale la cui soluzione assume forma esponenziale e può essere scritta nella forma: 

N(t) = N₀ exp (a t)                                                                    (2)

dove N₀ è una costante che può essere determinata tramite confronto con i dati epidemiologici. È interessante osservare cosa succede se calcoliamo l’andamento temporale del logaritmo naturale di N in funzione del tempo t. Applicando il logaritmo alla eq. (2) ricaviamo:

ln (N) = ln (N₀) + a · t                                                                 (3) 

L’eq. (3) ci mostra che se riportiamo su un grafico semi-logaritmico l’andamento della epidemia descritta dalla eq. (2) ci aspettiamo di osservare una retta la cui pendenza è proporzionale ad a. Un parametro di grande rilevanza è costituito dal tempo di raddoppio, ovvero il tempo necessario affinché il numero di contagiati raddoppi. È facile ricavare che il tempo di raddoppio D è dato da: 

D = ln (2) /a                                                                           (4)

Spunti per ulteriori approfondimenti (per studenti volenterosi) 

Nel nostro modello iper-elementare non teniamo conto del fatto che i contagiati possono a loro volta contagiare altre persone solo quando non sono ancora guariti (o ahimé defunti). Come potremmo impostare un modello meno grossolano? Come potremmo tener conto del fatto che, una volta guariti, gli ex contagiati diventano, a loro volta, una barriera per la diffusione del virus? 

Abbiamo già visto come l’assunzione di un valore medio per il parametro a rappresenti una forte approssimazione. Come potremmo riscrivere il modello suddividendo contagiati e contagiandi in gruppi con caratteristiche diverse? Un modello così raffinato potrebbe aiutarci a capire quali possono essere gli effetti attesi per le misure di contenimento della mobilità della popolazione?

Nel nostro modello abbiamo ipotizzato di conoscere il numero reale dei contagiati. In realtà non è così, specialmente per una epidemia come quella del Coronavirus i cui sintomi sono simili a quelli della normale influenza (e delle relative complicanze). Se – per pura ipotesi – noi fossimo in grado di rilevare solo l’1% dei contagiati, i dati ufficiali sulla diffusione dell’epidemia potrebbero farci sottostimare la presenza di persone già guarite e quindi dotate di anticorpi. Possiamo, a livello di modello, tentare di testare diverse ipotesi sulla effettiva capacità di individuare i contagiati?

Per gli appassionati di fisica degli aerosol: come cambia la probabilità di contagio a seconda della distanza tra le persone? La probabilità diminuisce quando stiamo all'aperto, oppure dipende solo dalla distanza? 

Chi fosse interessato ad approfondimenti veda:
http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/epidemie-matematica/