Lezioncina di matematica: rette ed esponenziali

Vi chiedo scusa per questa lezioncina di matematica non richiesta. Ma sono un vecchio professore e quando sento affermazioni che non mi tornano, scatta l'istinto irresistibile ad usare la matita rossa e blu.

In questo momento di forte crescita dei contagi leggo spesso frasi del tipo "siamo passati da una crescita lineare ad una esponenziale". Addiritturra c'è chi si spinge ad affermare che "ad un certo punto l'esponenziale impazzisce". Senza nulla togliere alla preoccupazione per il momento particolare che stiamo vivendo, vorrei rimettere le cose in ordine, almeno da un punto di vista matematco.

Per capire meglio facciamo riferimento ad una pratica matematica di uso comune: lo sviluppo in serie di una funzione. Chi volesse approfondire può consulatare la dispensa citata qui. In estrema sintesi, data una certa funzione rappresentata nel grafico seguente con la linea nera, possiamo approssimarla nell'intorno di un  punto P con una retta (linea azzurra) che viene tecnicamente chiamata "tangente" (vi risparmio i dettagli, a costo di farla un po' troppo semplice).

Rappresentazione grafica dello sviluppo in serie di una funzione y = f(x) intorno al punto P

Se ci allontaniamo dal punto P un po' troppo, la linea retta azzurra diventerà una cattiva approssimazione e dobbiamo sostituirla con la curva verde. Andando oltre anche la linea verde non sarà più una buona approssimazione e dovremo passare alla linea marrone, e così via.

In modo più formale, possiamo scrivere la funzione esponenziale come uno sviluppo in serie del tipo:

Quando l'argomento x è uguale a zero il valore della funzione è pari ad uno. Consideriamo solo i valori di x maggiori di zero. Se x è abbastanza piccolo, una buona approssimazione è costituita dalla espressione (1 + x) che è appunto l'equazione di una retta. I termini superiori che appaiono nello sviluppo in serie quando x è piccolo possono essere trascurati. Al crescere di x i termini che prima erano trascurabili diventano progressivamente più significativi e quindi si ci allontana dall'andamento lineare e la curva diventa progressivamente sempre più ripida (notate che sia pure con pesi decrescenti subentrano tutte le potenze di x).

In conclusione, qualsiasi andamento esponenziale quando l'argomento è piccolo può essere approssimato (confuso se volete) con una retta. Solo al crescere dell'argomento si osserva una progressiva deviazione, sempre più grande all'aumentare di x. Quindi gli esponenziali "non impazziscono", ma mostrano solamente il loro ben noto andamento. Sbagliano coloro che, osservando un andamento lineare, si illudono che tale rimanga per sempre. Mi ricordano la storiella di quel signore che aveva comprato un gattino e poi, col tempo, ha scoperto che era una tigre.

 

P.S. Se avete avuto la pazienza di leggere questo post, capirete perché spesso preferisco utilizzare grafici semi-logaritmici, che fanno apparire le curve esponenziali come rette per qualsiasi valore di x!