Vi chiedo scusa per questa lezioncina di matematica non richiesta. Ma sono un vecchio professore e quando sento affermazioni che non mi tornano, scatta l'istinto irresistibile ad usare la matita rossa e blu.
In questo momento di forte crescita dei contagi leggo spesso frasi del tipo "siamo passati da una crescita lineare ad una esponenziale". Addiritturra c'è chi si spinge ad affermare che "ad un certo punto l'esponenziale impazzisce". Senza nulla togliere alla preoccupazione per il momento particolare che stiamo vivendo, vorrei rimettere le cose in ordine, almeno da un punto di vista matematco.
Per capire meglio facciamo riferimento ad una pratica matematica di uso comune: lo sviluppo in serie di una funzione. Chi volesse approfondire può consulatare la dispensa citata qui. In estrema sintesi, data una certa funzione rappresentata nel grafico seguente con la linea nera, possiamo approssimarla nell'intorno di un punto P con una retta (linea azzurra) che viene tecnicamente chiamata "tangente" (vi risparmio i dettagli, a costo di farla un po' troppo semplice).
Rappresentazione grafica dello sviluppo in serie di una funzione y = f(x) intorno al punto P |
Se ci allontaniamo dal punto P un po' troppo, la linea retta azzurra diventerà una cattiva approssimazione e dobbiamo sostituirla con la curva verde. Andando oltre anche la linea verde non sarà più una buona approssimazione e dovremo passare alla linea marrone, e così via.
In modo più formale, possiamo scrivere la funzione esponenziale come uno sviluppo in serie del tipo:
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